X平方的导数是2X，具体分析如下：

导数，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数；

幂函数的导函数公式为：

y=x?，y'=nx1，所以X平方的导数为2X2?1=2X；

基本的求导法则：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合；

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导；

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方；

4、如果有复合函数，则用链式法则求导

2、对数复合函数求导公式？

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);

?

1什么是复合函数

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

2复合函数怎么求导

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如说：求ln(x+2)的导函数

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】 ×1【注：1即为(x+2)的导数】

主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量

3、传销洗脑的原理是什么？

因为吧，现在的传销，不外乎就是骗钱，而能骗到钱的途径大部分就是洗脑，一般洗脑时使用的语录一般千变万化，这不外乎就包含就这几个字：

反正这句话是传销业界内使用的最广泛的语录。因为现在的人就是见钱眼开了，反正有一个次就可以形容他们：悲哉财迷，因为吧，他们拿钱如拿自己的命一般，他们盼望着能钱生钱的。所以骗子们利用了他们的这个特点，对他们进行洗脑。

这句是一些传销项目在前期经常用到的。因为把那些人见到这个项目时他们说不投钱就能拿到钱的，就些许有点心动，然后骗子们就一步步让他们进入坑里，反正有些网络传销也就是常常用这句话来引诱新人加入的。反正你玩什么项目的的时候，看到这样的字眼就要尤其小心了~

这句话啊，是一些搞传销的天天说出口的，反正吧，这句话是在一些搞“民族大业”的人天天提到的，哦，对了，一提到民族大业，反正就是民族资产解冻大业的群里搞的，反正我是看今日说法看到的一件事情，反正涉案好几亿（我具体也不知道涉案几亿的，就是想着这俩。）

结语：世界上不仅有阳光灿灿烂烂，还有无知骗子技术烂烂~~

4、如何搞定高中数学的导数压轴大题？

大家好！作为一名普普通通的高中数学基层学科的工作者，我虽然不是什么名师，长相也一般，不见得有比别人更具优势的地方。但我的学生就不同了，在我辛勤耕耘的17个年头中，曾经有学生高考成绩达到146分，我很清楚自己肩上的指责，有时为了一道解不开的导数题我也是彻夜未眠，苦思冥想，那会儿可没有像现在这么方便的搜题软件，有的就是一台诺基亚，很皮实的，可能是由于自己长期不断的坚持和钟爱吧，我的学生特别喜欢跟我一起学数学，尤其是共同研究，共同探讨。

现在，好多学生都已经娶妻生子，走上了工作岗位，有些甚至还在国家重要机构负责攻关课题，有些则移居到了海外。

回想起跟学生共同探讨共同研究问题的往事，从中我得出了一条心得，就是你永远不要把自己认为是一位老师，古人云:“三人行，必有我师焉”，做人要懂得谦虚，因为我懂得“天外有天，人外有人”这个恒古不变的道理。做老师更要懂得换位思考，当有学生问你数学题目的时候，你要瞬间变换角色，我们要把学生看作是自己的同学，不要让我们的学生在听我们讲题的时候有隔阂感，距离感，甚至是拘束与恐惧感，心与心距离的拉进近，才是事半功倍的良好基础，当学生有基础上的断片时，我们就不能感情用事，一味暴躁地批评学生，就会导致一切不良后果的发生，更有甚者可能会白白断送一位学生的大好前程。反之我们应该更加有耐心地利用自己的优势，耐心帮助我们的学生复习一下学过的基础知识，哪怕是隔了几个学期也无所谓的。起码我们这样做会让那些个平时上课捣蛋调皮的学生瞬间与我们拉近距离，消除以往的不愉快感，让学生感觉好像是以前没有好好听老师讲课感到心理有所内疚，这样就一传十，十传百地搞定一大片学习上不太主动的学生，无形之中培养起师生之间的友谊和师生感情，增加了亲和力。有时碰到个别的后进生，心血来潮指不定还可以考个重点大学，反过来给我们一个大大的惊喜。

只要是建立了良好的师生友谊，我们就可以在上课的时候不用再费时费力地去管纪律了，课堂上也没有人因为听不懂而趴下睡觉了，而是一门心思地全情投入到怎么样让自己能跟上班上尖子生的脚步了，恨不得下次老师能够早点超过第一名，铆足了劲地努力学习。这就是我要说到的为人师表，师德，人品，师品，比教好书要重要地多的多！下面来谈谈我在教授学生有关导数的学习中的一点点心得和收获。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

中文名

导数

外文名

Derivative

提出者

牛顿、莱布尼兹

提出时间

17世纪

应用领域

数学（微积分学）、物理学

历史沿革

起源

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f'（A）。[1]

发展

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。[1]

成熟

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示： 。

1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f（x）在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。

微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限理论，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。

就数学历史来看，两种理论都有一定的道理，实无限就使用了150年。

光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。

定义

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作① ；② ；③ ， 即

需要指出的是：

两者在数学上是等价的。

导函数

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。[1]

几何意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

公式

简单函数

这里将列举14个基本初等函数的导数。

函数 原函数 导函数

常函数

（即常数）

（C为常数）

指数函数

幂函数

展开全部

复杂函数

1、导数的四则运算：

高阶导数运算法则

……………….①

………………②

………………③

2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：

y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'。

3、复合函数的导数：

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。

4、变限积分的求导法则：

（a（x）,b（x）为子函数）

导数的计算

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

高阶求导

高阶导数的求法

1、直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。

一般用来寻找解题方法。

2、高阶导数的运算法则： （二项式定理）

3、间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。

注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式求出阶导数。

口诀

为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：

常为零，幂降次

对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）

指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）

正变余，余变正

切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）

割乘切，反分式

导数与函数的性质

单调性

（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

凹凸性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

导数种别

双曲函数

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

均能较快捷地求得结果。

对于 有更直接的求导方法。

下面对 进行求导

由指数函数定义可知，y>0

等式两边取自然对数

等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数

幂函数

幂函数同理可证。

导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率。

上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大，也就是我们所说的导数不存在。

设y=x/x，若这里让x趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1，所以极限为1。

连续不可导的曲线

例如，魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）就是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。

应用

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：

那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：

当 t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即 ，这就是通常所说的速度。这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）。

导数另一个定义：当x=x0时，f'（x0）是一个确定的数。这样，当x变化时，f'（x）便是x的一个函数，我们称他为f（x）（关于x）的导函数（derivative function），简称导数。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。

以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

注意：

1、f'（x）<0是f（x）为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

2、导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如 中f'（0）=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）

求导方法（定义法）：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率；

③取极限，得导数。

参考资料

[1] 【英】斯科特（著）；候德润，张兰（译）．数学史．北京：中国人民大学出版社，2010：147-171

说白了，导数也就是个函数，函数也是由学生所熟悉的一些阿拉伯数字和英文字母的拼凑，只要沉下心来想做好一件事情，借句古话:“只有你想不到，没有你做不到！”只要是和学生打成一片，我们其实就是学生心目中的大哥哥，大姐姐了，让学生觉着上数学课等于说是在和我们玩游戏呢！乐在其中，那才是一种人生所追求的无尚境界！课堂气氛自然就是一种享受知识的无穷乐趣！就会觉得上课的四十五分钟实在是太短暂了，虽然下课铃响了，纵使别的老师抱了一踏踏作业来上课，学生们也不情愿我离开教室。知道那位老师说了声:“宝贝们，Game over!”只听见:“Class is over. Students please stand up.”随着班长传来的一声清脆的英语，这堂耐人寻味的数学趣味导数课伴随着一阵悦耳的上课铃声在学生们“嗖”的一声齐刷刷地起立声和发自内心的掌声中还有依依不舍的瞩目礼中，我以一个标准的90度的谢礼！然后我便迅速地“逃离”了主会场，但走出教室的一刹那，我仿佛感觉自己就像是明星退场般的自豪！

其实，我们把学生当作是自己的孩子来教，将心换心，急学生之所急，想学生之所想，把学生当作自己的亲人来对待，导数微积分难学这个词语就在学生的字典里查不到了。

所以，选择了老师尤其是数学老师就更加要培养自己的情操和极大的耐心，爱心，责任心，事业心，才能够精确呵护学生，呵护自己所爱的事业！并将为之牺牲一切，鞠躬尽瘁死而后已！就像蜡烛一样，点燃自己照亮学生前行的大道！只有牺牲别人不能牺牲的牺牲，才会得到别人不能得到的得到，付出了别人不能付出的付出，才会享受别人不能享受的享受！自己从教高中数学以来的一片肺腑之言，让大家见笑了！同意的点赞！谢谢！

5、与初等函数对应的是什么函数？

超越函数吧。初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。至今未听说有高等函数这个概念。

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。

?

复变三角函数：

例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz，它们是整函数。tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。

它们具有实三角函数的很多类似性质：周期性、微商性质、三角恒等式等。但|sinz|≤1，|cosz|≤1不是对任何z都成立。三角函数与指数函数密切联系，因此应用时很方便。sinz的单叶性区域将Gk单叶并共形地映为全平面上除去实轴上线段[-1，1]和负虚轴后得到的区域。