|作者:曹则贤

(中国科学院物理研究所)

本文选自《物理》2020年第10期。

Never mind when.1)——Sir William Rowan Hamilton in 1859

四元数是汉密尔顿对二进制数即复数的推广，成功打开了近代代数的大门。哈密尔顿称四元数向量的纯虚部。从三维世界矢量的四元数乘积引入点乘和叉乘的概念。麦克斯韦从泰特那里学到了四元数，发明了微分向量运算的散度和旋度概念。三分量广义四元数世界矢量被麦克斯韦和哈弗赛德用来表示电磁，于是产生了我们今天所熟悉的麦克斯韦方程组的形式，吉布斯和哈弗赛德独立发展了矢量分析。向量分析是严格四元数代数的一个实用切割，用途明显，危害极大。混沌的点乘-十字乘使得电动力学成为大多数物理学生的噩梦。泰特努力捍卫四元数，但结果是，向量分析开始流行。汉密尔顿追求的是一般多重代数的建立，而吉布斯则试图推广三维向量分析。再加上格拉斯曼创立的线性展开和派勒斯创立的线性结合代数的知识，线性代数就应运而生了。几乎同时诞生的矩阵论、格拉斯曼代数、克利福德代数与它们有着密切的内在联系，它们也是物理表达式的数学基础。如果我们理解了四元数、矢量分析和线性代数背后的代数知识以及它们之间的关系，普通物理课本上的数学表达式可能就不会那么混乱了，也就能理解为什么电动力学中的矢量叉积在量子力学中消失了——据说波函数也是矢量。对了，向量之所以是向量，在于它所遵循的代数结构。它不需要有方向甚至长度。

关键人物汉密尔顿，泰特，麦克斯韦，亥维赛，凯莱，吉布斯，格拉斯曼，皮尔斯，克利福德。

01

一头雾水的电-动力学符号

作者无知，大学物理成绩惨不忍睹，尤其是电-动力学2)这门课。有句话叫“长夜不哭，只说爱是不够的”。套用这句话，作者想说，“我从来没有为乱七八糟的点乘-叉乘公式怀疑过自己的人生，我也没有学过电-动力学。”作者纯粹为了生存，不得不背那些莫名其妙的公式。至于它们的数学意义，对应的物理图像和原因，作者完美地继承了教材作者和授课老师的无知。为了增加人们的恶心感和直接感，约翰·大卫·杰克逊现在会写经典电动力学(电动力学教科书，第3版，John Wiley & amp；Sons，Inc. (1999)，我给高差评！)所谓矢量公式附录记载如下:

对于三维位置向量x，有x = 3；∇ × x = 0 .

上表中的a，b，c，以及x，是vector。一般《电-动力学》教科书里都会列这个表，我猜是为了方便读者查找。那为什么要方便查找呢？当然是因为就知道你不明白也记不住啊！这大概是一般《电-动力学》教科书作者的预设立场。有趣的是，这些作者一般也不告诉我们这里讨论的是特定的三维vector而不是线性代数里的任意维vector，也不是量子力学中的波函数ψ那种取复数值但模总为1的vector，两个波函数组成的二分量怪物是旋量但老是被误以为是矢量。至于这里的∇点乘-叉乘公式来源这种特定的三维vector自身的代数性质，在这类书中更是不见蛛丝马迹。值得警惕的是，一般(英文)书中会把vector定义为既有长度又有方向的量，故有汉语矢量的说法和英文的 arrow notation ，更是错得离谱。矢量属于这个的集合，其中任意两个元素 a1，a2 的线性叠加 λ1a1+λ2a2，λ是属于某种数域的标量，都在这个集合里，即该集合对于线性叠加是闭合的。至于vector是否有模(长度)，两个vector之间能否定义夹角(方向)，那可不一定。上表中的a、B、C、X为矢量。这个列表通常会列在电动力学的教材里，我猜是为了方便读者。那为什么要容易找到呢？当然，因为我知道你不懂，也记不住！这大概是电动力学一般教材作者的默认立场。有趣的是，这些作者一般不会告诉我们，我们这里讨论的是一个特定的三维向量而不是线性代数中的任意向量，也不是量子力学中取复数值但模始终为1的向量。由两个波函数组成的两分量怪物是旋量，但总是被误认为是矢量。至于这里的点乘-叉乘公式，来源于这个特定的三维向量本身的代数性质，这类书里没有任何线索。值得注意的是，在一般(英文)书籍中，向量被定义为既有长度又有方向的量，所以有中文向量又有英文箭头标注就更不对了。一个向量属于这个一个集合，其中任意两个元素a1和a2的线性叠加λ1a1+λ2a2是属于某个数域的标量，并且都在这个集合中，即该集合对于线性叠加是闭的。至于一个矢量是否有模(长)，两个矢量之间是否可以定义夹角(方向)，这并不确定。

上面列出的公式属于向量分析的范畴。由于作者没有学过代数基础，更没有学过近世代数，所以除了按照给定的模式死记硬背，没有别的方法可以学习上面的公式。如果你有一点代数基础，人们会发现上面的公式有很多问题。首先注意乘法有两种，一种是倒数，AB = BA一个是反Yi，a× b =-b× a，既然涉及到反交换性，那么一定是一类特殊的非交换代数。看公式a× (b× c) = b (c a)-c (a b)。公式中的括号非常重点。它强调这个表达式是非结合式的，a×(b×c)≦(a×b)×c，换句话说，这个向量分析涉及到非交换、非组合的计算，这是一个步步为营的陷阱。注意，因为普通教材作者不知道这些公式的含义，所以在右边有四项的情况下，不知道怎么放。比如上式中的× (A× B) = A (B)-B (A)+(B) A-(A) B，如果我们知道具体某项的来源和意义，那么以× (A× B) = (B+B) A-(A+A) B的形式理解就会容易得多。

在我第一次接触上述电动力学公式列表的很多年后，我注意到这里的矢量只是矢量ai+bj+ck概念的一个特例，是一个普通的四元数世界矢量，与四元数这个特殊的超复数有继承关系，也与线性代数有着内在的联系。阐明了四元数、向量分析和线性代数之间的关系。以作者有限的物理知识，可以断言大学普通物理中的很多内容都会变得清晰可爱。比如电磁学中麦克斯韦方程组的微分形式，刚体的转动表象和角动量，量子力学中的自旋表象，相对论量子力学中的旋量表象，都可以在四元数中找到，四元数是矢量分析之母，当然也是一种简单的理解。

02

哈密顿、复数与四元数

人们在解一元三次方程的时候，会遇到根号下出现负数但又不能一扔了之的问题(解一元二次方程时可一扔了之)，于是不得不保留了负数的平方根。引入作为单位虚数(错，应该是 ii = -1)，z = a + bi 这类结构的数称为复数。大约在 1830年，25岁的爱尔兰数学家、天文学家哈密顿(Sir William Rowan Hamilton，1805—1865. 就是 Hamiltonian 里的那个哈密顿，见图1)认为把复数写成一个实数加一个虚数的做法是有误导性的。笔者当年也注意到复数加法 (a + ib) +(c + id) =(a + c) + i(b + d) 里的加号意义不一样，但也就到此为止，不敢质疑也没有能力质疑【怪我咯！】。哈密顿认为 z = a + bi 里的这个加法符号只有形式意义，有关复数重点的是它遵循的算法而不是你把它表示成什么样子。比如我们可以把复数表示成矩阵的形式，，它遵循与复数同样的加法和乘法，可以表示二维平面的几何。把复数写成矩阵，则模为1的复数，其矩阵一般形式为 z =，这就是二维空间的转动变换哦，复数乘积就有表示二维平面内转动的功能。当然， 这个的形式还和保角变换有关系、还联系着哈密顿方程和辛几何(symplectic geometry)，等等，此处不提【感慨：不要小瞧你一年级时学过的加法，那里面有太多的东西你听都没听说过】。总而言之，哈密顿意识到复数是一种遵循具体算法的具有两个元素的数而已，写成(a,b)即可，他将之称为代数偶素(algebraic couple)，现在也叫二元数(binarion)。人们在解一元三次方程时，会遇到根号下有一个负数，但又不能扔掉(解一元二次方程时可以扔掉)的问题，所以不得不保留负数的平方根。这种形式的引入还涉及到保角映射、哈密顿方程和辛几何等等。这里就不提了【感受:别小看一年级学的加法，有太多你没听过的东西了】。总之，汉密尔顿认识到复数只是一个有两个元素遵循特定算法的数，所以可以写成(a，b)。他称之为代数偶，现在也称之为binarion数。

图1 哈密顿爵士，一个笔者认为其数学和物理成就均高于牛顿的人

复数，或者说二进制数，代数偶素数，是一个非常强大的数学概念，不仅可以用来解代数方程组还可以用来描述二维之间的旋转空。但是我们活在三维空。汉密尔顿认为我们应该构造一个三联体，一个三重数或者一个三元数来描述物理中发生的事情空。模仿二进制数，三进制数z = a+ib+jc，有两个虚数i2 = j2 = -1，看起来难度不大。但在计算三进制数的乘积时，会出现ij和ji项，这是新元素，也带来了新问题。使ij = ji = 0或ji = -ij不能消除任意三进制数的乘积和任意三进制数模信号的平方乘积中的问题。这让汉密尔顿很苦恼，相关的研究一次次放下又拿起。13年后，他没能做到最好。

1843年10月16日，汉密尔顿顿悟:如果是四元数，那么很可能数字的乘积和数字模的平方的乘积也会分别有数字和数字模的平方的形式。也就是说，他需要研究的是z = a+ib+jc+kd形式的数，所以他需要引入第三个虚数k2 = -1，这三个单位虚数满足关系ij = k，jk = i，ki = j；；Ij = -ji，jk = -kj，ki =-ik[记住这两个关系，这是向量分析要继承的关键关系]，i2 = j2 = k2 = ijk = -1。构造三元数和四元数，放弃根深蒂固的乘法交换律，是关键的一步，真的需要勇气和魄力。后来我们知道，哈密尔顿要的是一个带除法的三元数，这个三元数根本不存在，而四元数的代数就是除法代数——除法代数只有四种情况:实数、二进制数、四元数和八进制数，这就是胡尔维兹定理。两个四元数的乘积是四元数。有了这个性质，就很容易证明任意两组四个整数的平方和的乘积就是四个整数的平方和——这只是微积分，两者都无法证明。

四元数的纯虚部，即r = xi+yj+zk，可以描述三维空空间，哈密尔顿称之为向量。同样，这里的矢量是一个数字！)，准确的说是普通四元数世界向量，普通四元数世界向量3)。我们要记住，像r = xi+yj+zk这个的向量是实部为零的四元数，它不是一个方向量。计算(Xi+YJ+ZK)(AI+BJ+CK)=-(XA+y b+ ZC)+(YC-ZB)I+(ZA-XC)J+(x b-YA)K，可见向量的四元数乘积包含实部(汉密尔顿给了标量这个名字，翻译成中文就是标量)。上式的向量乘法利用了四元数的虚数ij = k，jk = i，ki = j的性质，体现了所谓的三维间向量乘法的右手定则空。向量乘法的A × B = -B × A性质实际上来源于四元数乘法的规律，ij = -ji，jk = -kj，ki = -ik，与排列中正负符号的交替有关，表达式中正负符号的交替与求矩阵值有关。1846年，汉密尔顿甚至引入了

符号。我们可以看到，汉密尔顿实际上拥有后续向量分析的所有内容(他可以轻而易举地管理四元数运算的完整全景)，但汉密尔顿是一位哲学严谨的数学家。他不能以牺牲数学的优雅和严谨来迎合物理的实际东西，他也不忍心得到一个简化版的他的四元数。如果你是你，你不会想——你必须是一个小丑对待一个好家庭就像一个煮火的女仆！科学的发展，尤其是应用科学的发展，可能需要这么粗糙的人，但当然不能粗糙到不怜悯数学。

汉密尔顿有关四元数的思想可以在他的两本书《四元数讲座》和《四元数的元素》中找到(图2)。后一本书本来是想做前一本的简化版，但是越看越深，越看越厚。由此可见汉密尔顿对数学的态度。很多内容请参考本人拙作《壮丽为一》、《云之脚下》中有关复数、四元数、哈密顿的相关章节。

图2汉密尔顿的经典作品四元数元素

03

麦克斯韦、吉布斯、亥维赛德与矢量分析

哈密顿有位亲学生苏格兰人泰特(Peter Guthrie Tait，1831—1901，图3)，其是著名的数学物理学家、热力学的创始人之一5)。泰特当然是四元数的强烈拥护者，是四元数的传播者，写过Treatise on quaternions. 泰特有个同班同学叫麦克斯韦(James Clerk Maxwell，1831—1979)，麦克斯韦从泰特那里学到的四元数，当然明白四元数的物理意义，故他支持四元数。麦克斯韦1871年曾撰文On the mathematical classification of physical quantities (论物理量的数学分类)，笔者以为，这篇论文是科学史上的重点文献——多少电磁学、电-动力学文献根本不懂麦克斯韦，误把E，B当成了同样的数学对象了！麦克斯韦指出，哈密顿把四元数之虚部的乘积结果分为标量部分和矢量部分具有重点的物理意义！麦克斯韦甚至认为四元数是朝向获得有关空间的量的知识迈出的一大步，可同笛卡尔引入坐标系相媲美。很多物理现象有相似的数学表达，如果关注这些数学形式，就能对物理现象有更好的理解 6)—— 不得不说，麦克斯韦是真有洞见的物理学家。麦克斯韦接着讨论哈密顿的微分矢量算符∇，造出了 convergence 和 curl，即作用于另一个矢量的点乘和叉乘，这两个概念。麦克斯韦看到的是哈密顿的世界矢量表示空间里的物理现象的优点，而非是简单的计算方法“…but it is a method of thinking…It calls upon us at every step to form a mental image of geometrical features represented by symbols！”汉密尔顿有一个叫彼得·格思里·泰特(Peter Guthrie Tait，1831-1901，图3)的苏格兰人，是著名的数学物理学家，热力学的创始人之一。当然，泰特是四元数的坚定支持者和传播者。他写了有关四元数的论文。泰特有个同学叫麦克斯韦(詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，1831-1979)。麦克斯韦从泰特那里学到了四元数，当然他理解四元数的物理意义，所以他支持四元数。麦克斯韦在1871年写了一篇有关物理量的数学分类的文章。作者认为这篇论文是科学史上的重点文献——有多少电磁和电动力文献根本不理解麦克斯韦，把E和B误认为是同一个数学对象！麦克斯韦指出，把四元数虚部的乘积结果分成标量部分和矢量部分，对哈密尔顿来说是有重点物理意义的！麦克斯韦甚至认为四元数是向获取空之间的量的知识迈进了一大步，堪比笛卡尔引入坐标系。很多物理现象都有类似的数学表达式。如果我们注意这些数学形式，我们就能更好地理解物理现象。麦克斯韦接着讨论了哈密顿量的微分矢量算符，创造了收敛和旋度的概念，即作用于另一个矢量的点乘和叉乘。麦克斯韦在汉密尔顿的世界矢量表示空中看到了物理现象的优点，不是一种简单的计算方法“……但它是一种思维方法……它每走一步都在召唤我们形成用符号表示的几何特征的心理图像！”

图3 泰特

在麦克斯韦看来，四元数比坐标更直接地表示电磁现象，使数学更能解释电磁的特性。麦克斯韦的方案是同时使用坐标和四元数，即双语方案。这个做的一个不方便的地方是，按照四元数的约定，一个向量与自身的点积(模平方)是负的，但是用坐标表示就得是正的，有点扭曲。用麦克斯韦自己的话说，这整件事就是用一头牛和一头驴一起犁地。嗯，这句话我理解为一个耕耘者。

向量分析的发明者是美国的乔赛亚·威拉德·吉布斯(1839-1903)和英国的奥利弗·亥维赛(1850-1925)，如图4所示。吉布斯，吉布斯自由能的吉布斯，统计物理学的奠基人之一。他创造了统计物理学这个词，使他的领域成为一个接近完成的理论结构。赫维塞德将复数引入电路分析，所以在物理学中使用四元数没有心理障碍。他写出了现在形式的麦克斯韦方程组，这是矢量分析的一大成就！1873年读麦克斯韦的《电与磁论》时，两人都觉得有必要简化或删减四元数来表达电磁学的实际需要，最终独立发展了矢量分析。读过麦克斯韦著作的吉布斯注意到，电磁学不需要保留一套完整的四元数代数。在1888年的一封信中，他表明他决心发明矢量分析系统。吉布斯说，他看到就电磁学而言，把向量的点乘和叉乘保持在同一个公式中并不是一个好主意(吉布斯在这一点上是错的。严格的数学可以导致正确的物理)，他把叉乘和点乘看作两个独立的向量运算。Gibbs然后用两次乘法和微分算子对标量和向量的不同影响构建了向量分析。吉布斯的灵感也来源于汉密尔顿自己的著作和泰特的著作《论四元数》(on quaternions) 7)，但大概上是麦克斯韦的思想。吉布斯的《向量分析原理》于1881年出版，但直到1901年才正式出版，由他的学生埃德温·彼德维尔·威尔逊编辑出版。同一时期，哈弗赛德在麦克斯韦著作的影响下，也在英国发展了向量分析。1881年和1883年，他发表了有关矢量分析的建议，题目是磁力和电流之间的关系。系统的矢量分析在他1893年出版的著作《电磁理论》的第一卷中。正是在1888年，哈弗赛德听说美国人吉布斯也发展了向量分析。

(三维物理之间的世界空)矢量分析是四元数表达电磁学和电动力学需求的一个务实的切入，带来了一些便利和发展。但由于向量分析是严格四元数代数的实用化切割，其危害也很大。很多浆糊样的电动力学教材和很多学电动力学但是学的很多的人就是佐证！

四元数满足除了普通数和二进制数的交换定律之外的所有代数运算规则，最重点的是它有除法。但如果把向量部分排除在外，作为一个独立的数学体系，问题就麻烦了:(1)向量乘法和交叉乘法有两种乘法(甚至被一些人误认为是独立的)，结果性质不一样。原则上它们不是矢量(物理学上很好理解，两个差不多物体的乘积的维数与自身不同，一定是性质不同的物理量！)，叉积的结果因为对偶关系刚好是三维之间的向量空。8);(2)向量叉积不满足结合律，这是四元数不具备的大问题；(3)向量不可分；(4)向量模的平方小于英尺模的平方的乘积的恒等式；(5)向量不为零但叉积可能为零(可怕！)，这是代数最应该避免的。这些问题都是因为向量只是四元数的一部分，所以有交叉相乘的可能，而一般意义上的向量是没有交叉相乘运算的。比如量子力学中的波函数可以看成一个矢量，但是波函数没有叉积。后来的电动力学教材的作者并不了解矢量的来源和本质以及它的算法，越抄越乱。

1893年，支持四元数的人和拥护新向量分析师的人之间的矛盾出现了。作为四元数创始人和四元数研究者的数学家Tate把向量分析称为雌雄同体的怪物——一个不男不女的怪物！确实如此。泰特两线作战，分别支持四元数到坐标的战场和四元数到矢量分析的战场。在1890年有关四元数在物理学中的重点性的文章中，泰特称赞了“四元数的自然特性”。它以最明显的方式直接解释了空之间的物理性质(四元数的自然性去除了坐标的任意性，以最敌对的方式揭示了空间的物理性质)。四元数是表示方式。当四元数后来成为表示旋转的运算符时，这一点就更清楚了。泰特把坐标比作一把大锤，如果有工作要做，四元数可以比作一个鼻子，鼻子灵活，无所不能，活动自如。四元数是自然的！泰特在其《四元数论》第三版的序言中认为吉布斯是“四元数进步的阻滞者之一”，但现在看来，他不幸是对的。大量的物理系学生不懂四元数，弄不清向量分析中的代数思想。当然，他们只能死记硬背公式的电动力学教材，这大大阻碍了电动力学的教学！

另一方面，海威斯德对四元数代数没有任何负面评价，因为他了解四元数。他只是认为四元数太难理解了，只有极其渊博的形而上学数学家(一个极其博学的形而上学数学家)才能理解。然而，几何学家亚瑟·凯莱(1821—1895)就没有这么客气了。他宣称四元数只是一种利用坐标的特殊方法或理论，对他来说四元数只能算是一种特殊的计算或解析几何。格洛丽亚是代数大师。他怎么会不知道四元数的重大意义(这是近代代数的开山之作)？他对四元数代数的态度让作者难以捉摸。其实四元数和向量分析之争也是一件奇怪的事情。向量分析(常见的四元数世界)脱胎于四元数虚部的乘法，其特殊的地方只是微分算子，所以不应该是两种互相敌对的方法。说向量分析得到物理学家的支持，是因为它更直接地接近物理问题，现在可能说不通了。首先，向量分析有内伤，学起来很麻烦；至于更接近物理的问题，就看物理问题是什么了。你还是要用四元数来描述旋转！

对了，因为除代数只有二进制数、四元数和八进制数，所以向量叉积只对三维向量有效；如果结果的唯一性要求被放弃，对于七维向量也有一个叉积。其他维度空的向量交叉相乘的运算就是外积。

04

格拉斯曼、佩尔斯与线性代数

哈密尔顿从二进制数，也就是复数开始构造三元组，结果落在了四元数上。作为一个用形而上学武装起来的抽象学者，汉密尔顿一直在寻找更高维度的polylets。在汉密尔顿发展四元数的同时，格拉斯曼(1809-1877，语言学家、数学家和物理学家)提出了向量扩展到高维线性空的可能性，这体现在他1844年出版的《线性扩展的知识》(Die lineale Ausdehnungslehre，Wiegand，1844)中。1862年，格拉斯曼还出版了《死亡》。1862年在恩斯林的贝格伦代出版的《力量与形式》。但由于追求抽象和严谨，格拉斯曼的书只有无畏的数学家才能读懂，所以在出版后的30年里几乎无人问津。格拉斯曼一怒之下退出数学，专心研究语言学。格拉斯曼认识到数学是一种形式理论，他在空中以最一般、最抽象的方式研究了空间中的有向线。格拉斯曼作品的目的是抽象几何。注意，有方向的线的形象后来被赋予了向量这个词，甚至成为了向量的标准解释，这也是汉语中向量这个词的由来。我要再次强调，向量作为一个词，意味着载体，而作为一个数学概念，它并不是一个既有大小又有方向的量:向量的性质是由它所遵循的线性算法定义的，它可以没有方向，甚至可以没有长度！另外，格拉斯曼还为我们提供了格拉斯曼代数，它满足1ξ=ξ；ξ ξ = 0，你可以看到，这可以用来描述费米子。

图5 Grassmann和他的《作为数学新分支的展开学》(部分版本有“线性的”一词，为线性展开学)
吉布斯在1881年出版 Elements of vector analysis 一书时是读过格拉斯曼的著作的。吉布斯矢量分析里的某些矢量性质，并不局限于三维矢量。哈密顿，格拉斯曼和吉布斯，他们的研究都指向 multiple algebra (任意多重代数)。但是，凯莱认为多重代数始于美国人佩尔斯(Benjamin Peirce, 1809—1880，图6)，这也是一个热情的四元数支持者。佩尔斯1870年就写成、在1881年正式出版了《线性结合代数》(linear associate algebra, Johns Hopkins University Press, 1881)一书，在1855年还出版过 analytical mechanics (分析力学)，可见其受哈密顿影响至深。佩尔斯认为“the greatest value of the square root of minus one was its‘ magical power of doubling the actual universe, and placing by its side an ideal universe, its exact counterpart, with which it can be comparedand contrasted, and, by means of curiously connecting fibres, form with it an organic whole, from which modern analysis has developed her surpassing geometry!’ see linear associate algebra, p.216—217”. 在《线性结合代数》这本书里，佩尔斯总结了那时的所有超复数和小于7个单位的线性结合代数。吉布斯1886年发表过名为 Multiple algebra 的文章，1887年凯莱也发表了同名文章。Erdehnungslehre, vector analysis, multiple algebra，和multiple associate algebra，这些思想汇集到一起，我们上大学时都要学的 linear algebra (线性代数)这门学问于是水到渠成。

图6桶

说起线性代数，必须提到矩阵一词。线性代数的关键词是 linear transformation (线性变换)，它是 multiple algebra 的根。线性矢量的变换常用一个矩阵表示。一般科学史认为矩阵一词由凯莱于1858年提出，吉布斯认为凯莱1858年的文章 Memoir on thetheory of matrices 的基础其实已经见于1844年格拉斯曼《展开的学问》了！实际上，1844 年，艾森斯坦 (Gotthold Eisenstein, 1823—1852) 发表的 Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades (有关三次式的一般研究)一文也包含矩阵的思想，这是艾森斯坦于1843年夏拜会哈密顿未来发表的，而哈密顿就是被同他的谈话给吓到了，才全力以赴捡起他多次放下的triplet研究从而于当年10月16日发明了四元数的。其实，象Block of n2 quantities，代数方程组的判别式，函数变换的雅可比判别式，都容易让人想起矩阵，或者说就是矩阵。
有趣的是，自1890年未来物理学家接受了矢量分析，作为矢量分析之母体的四元数却被弃置道旁(有个成语买椟还珠像是专门为此准备的)。笔者读完十年大学都没接触过四元数。Sir Edmund Whittaker (1873—1956)于1940年曾呼吁复活哈密顿的四元数，当时也没有多少响应。然而，四元数里的深刻数学与物理怎么可能会被埋没呢？哈密顿当年就对四元数的价值深信不疑，它是有关自然的反映，它一定会带来很多的数学与物理。我们就慢慢等着看好了。Never mind when，哈密顿1859年对泰特这个说。其实，哪用等多久，克利福德(Willian Kingdon Clifford，1845—1879)代数的出现，作为四元数作用对象的旋量的提出，立时就让四元数在电磁学和经典力学以外发现更神奇的应用，让物理学家不得不认真学习四元数9)。至于由四元数开启的发明代数对象和代数规则给数学带去的影响，笔者不懂，不论。
05

多余的话

哈密顿第一个去掉了加在自然数之上的代数限制，打开了通往近世代数之门。去掉这些限制(交换律、分配律、结合律)的代数学的发展，让我们更加深刻地认识了这些限制的性质。这事儿很哲学，也启发笔者认识到太多的事物是在失去未来我们才意识到它的存在的。代数反映数的形式、结果与运算逻辑，它是自然的，必然见于物理世界。或者反过来说，欲弄明白那些描述物理的数学，认真学一下代数这门最基础的、小学一年级就开始学的学问，可能对我们大多数人来说还是有必要的。吉布斯于1886年在 Multiple algebra 一文中写过一句很煽情的话：“We begin by studying multiple algebra. We end, I think, by studying MULITPLE ALGEBRA!”嗯，俺们开始时学的是 multiple algebra，我们收工时发现学的是 MULITPLE ALGEBRA！若是笔者大一的时候读过这句话，恐怕学电-动力学时也不会放任自己一脑糊涂酱吧。

面对前述电-动力学教科书里的矢量分析公式列表，笔者当时的直觉就是，这玩意儿一定不对！让笔者伤心又欣慰的是，笔者的直觉是对的。这玩意儿到底是哪儿来的，它怎么得以流行以及其得以流行的理由是什么，它的内在缺陷和危害有哪些，我们又该如何自救？这些问题，在荒废了很多年的大好时光未来，笔者才算有了一点点粗浅认识。笔者在此分享出来，希望能有助于未来年轻人学习物理、数学，当然也包括别的一些领域。有关知识的学习，学得浅碎不如无。可是，在不同的初期阶段人们毕竟是跟从老师学习的，这老师的水平就显得至关重点了。因此，针对老师我更想说“教人浅碎不如无”。天下之大，能糊口的职业多了去了，误人子弟的事情并不是非干不可。一个人，若是选择了当教师的职业，就不要指望“以其昏昏使人昭昭”的奇迹。一年级小孩的算术也许只需要教 [4 ×(3 + 2)- 6] ÷ 7 = 2 ，但老师如果修过非交换代数、非结合代数甚至非交替代数，那用前述式子教出来的小孩的前程可能就不一样。有人可能说啦，哪能教那么多呢？我不太同意这种观点。作为至今有了48年上学经验的老旧小学生，我个人认为学习应该采取“牛吃草”的战略。牛吃草，是先足足地吃一肚子再说，有空的时候通过反刍慢慢消化。知识不是线性的结构，也唯有在多知道，尤其是要多知道高深学问的框架大略，的前提下才能互相比照印证最后达成消化的效果。也许确实不可以一味追求多教，但是这不是用来掩盖教师知识储备严重不足的借口。教育的主要矛盾，永远是学习者无限强烈的求知欲同教育者少得可怜的知识储备之间的矛盾。
老师，论能力也许我只能爬上村后的小土坡，可我依然希望你能带我去看珠穆朗玛。

2020年5月1日北京劳动节

注:1)何必在乎是什么时候！这就是汉密尔顿说的他发明的四元数什么时候有用。是的，好的数学总是有用的，它只需要静静地等待时机的到来。2)电动力学，不是电动力学，是电动力学。它不是力的理论。中国语境下的所谓“四大力学”是对物理学的歪曲。3)后来相对论中的世界线等概念就是由此而来的吧？4)预计2020年末2021年初出版。

5)在华人的热力学世界里，没人管他。

6)这是有关麦克斯韦对托马斯·杨的恭维。

吉布斯在欧洲学习了三年，但他绝不是一个夸夸其谈的人。

8)有兴趣的读者请参考几何代数。

9)学完四元数，你会发现樱井J. J .的量子力学更容易理解。另外，知道四元数至少对电动力学教学有用

来源:中国物理学会期刊网

编辑:朴志

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10.伤口越大？莫比乌斯环到底有什么魔力？